\chapter{约BC160,希帕霍斯（Hipparchus）弦表推导过程研究}

\date{2025.08.26}
	
	\begin{abstract}
		希帕霍斯（约公元前190年-公元前120年）被誉为三角学的奠基人，他编制了历史上第一个已知的弦表，为球面三角学的发展奠定了基础。本文旨在详细重构希帕霍斯推导其弦表（Chord Table）的数学过程。希帕霍斯的工作虽已散佚，但后世托勒密的《天文学大成》中保留并发展了他的方法。本文依据历史文献，重点阐述希帕霍斯如何利用几何学原理，特别是圆内接正多边形，逐步推导出不同角度所对应的弦长。其核心在于运用毕达哥拉斯定理和欧几里得几何中的命题，通过半角公式和补角公式从已知弦长迭代求解未知弦长。本研究不仅揭示了古希腊数学的严谨性与创造性，也展现了弦表在天文学计算中的关键作用。
		
		\textbf{关键词：} 希帕霍斯；弦表；三角学；古希腊数学；圆内接正多边形
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在三角学的早期发展中，希腊天文学家希帕霍斯做出了开创性的贡献。他首次系统性地计算了圆的弦长与对应圆心角的关系，编制了历史上第一张弦表（Chord Table）。这张表等价于现代的正弦函数表（关系为 $\text{chord}(\theta) = 2R \sin(\theta/2)$，其中 $R$ 为圆的半径），为解决球面天文问题提供了至关重要的计算工具。尽管希帕霍斯的原始著作未能留存于世，但约三百年后托勒密在《天文学大成》中详细记载并扩展了他的方法。本文旨在根据这些后世记载，重构希帕霍斯推导弦表所采用的数学原理与计算步骤。
	
	\section{希帕霍斯的数学基础}
	希帕霍斯的工作建立在经典的欧几里得几何之上。他的核心概念是“弦”（chord），即圆内给定圆心角所对应的弦的长度。
	
	\begin{itemize}
		\item 设圆的半径为 $R$（通常为了方便计算，会取一个定值，希帕霍斯可能取 $R = 60$ 单位，这与巴比伦的六十进制计数法有关）。
		\item 对于圆心角 $\theta$，其对应的弦长记为 $\text{crd}(\theta)$。
		\item 几个已知的基础值：
		\begin{align*}
			\text{crd}(60^\circ) &= R \\
			\text{crd}(90^\circ) &= \sqrt{2}R \\
			\text{crd}(120^\circ) &= \sqrt{3}R \\
			\text{crd}(180^\circ) &= 2R
		\end{align*}
		这些值可以通过内接正六边形、正方形、正三角形等的几何性质轻易得到。
	\end{itemize}
	
	\section{推导过程的核心几何命题}
	希帕霍斯的推导依赖于两个关键公式。
	
	\subsection{补角公式}
	对于任意圆心角 $\theta$，其补角为 $180^\circ - \theta$。根据圆内接四边形性质（实为托勒密定理的特例）或直接应用毕达哥拉斯定理，可得：
	\begin{equation}
		[\text{crd}(180^\circ - \theta)]^2 = (2R)^2 - [\text{crd}(\theta)]^2
	\end{equation}
	该公式允许从锐角的弦长直接推导出钝角的弦长。
	
	\subsection{半角公式}
	这是推导过程中最为关键的一步。希帕霍斯需要计算更小角度（如 $7.5^\circ$, $15^\circ$ 等）的弦长。设现有角度 $\alpha$ 的弦长 $\text{crd}(\alpha)$ 为已知，目标是求 $\text{crd}(\alpha/2)$。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
			% 定义半径和角度
			\def\R{3cm}
			\def\alpha{60} % 圆心角AOB的度数
			
			% 坐标点
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (A) at (0:\R);
			\coordinate (B) at (\alpha:\R);
			\coordinate (C) at ({\alpha/2}:\R); % 弧AB的中点
			\coordinate (D) at ($(A)!.5!(B)$); % 弦AB的中点
			
			% 绘制圆
			\draw[thick] (O) circle (\R);
			
			% 绘制半径和弦
			\draw[thick, blue] (O) -- node[above left] {$R$} (A);
			\draw[thick, blue] (O) -- node[above right] {$R$} (B);
			\draw[thick, blue] (O) -- node[left] {$R$} (C);
			\draw[thick, red] (A) -- node[below] {$\text{crd}(\alpha)$} (B);
			\draw[thick, green!70!black] (A) -- node[above left] {$\text{crd}(\alpha/2)$} (C);
			\draw[thick, green!70!black] (C) -- node[above right] {$\text{crd}(\alpha/2)$} (B);
			
			% 绘制辅助线
			\draw[thick, dashed, orange] (C) -- (D);
			\draw[thick, dashed, magenta] (O) -- (D);
			
			% 标记直角
			\draw[thick, dashed] (D) -- ($(D)!0.3cm!(O)$);
			\draw[thick, dashed] (D) -- ($(D)!0.3cm!(C)$);
			\draw ($(D)+(0.1,0)$) rectangle ($(D)-(0.1,0.1)$);
			
			% 标记角度
			\pic [draw, ->, angle radius=1cm, angle eccentricity=1.2, 
			"$\alpha$", thick] {angle = A--O--B};
			\pic [draw, ->, angle radius=0.7cm, angle eccentricity=1.3, 
			"$\alpha/2$", thick] {angle = A--O--C};
			\pic [draw, ->, angle radius=0.7cm, angle eccentricity=1.3, 
			"$\alpha/2$", thick] {angle = C--O--B};
			
			% 标记点
			\fill (O) circle (2pt) node[below left] {$O$};
			\fill (A) circle (2pt) node[right] {$A$};
			\fill (B) circle (2pt) node[above right] {$B$};
			\fill (C) circle (2pt) node[above] {$C$};
			\fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
			
			% 添加长度标记
			\draw[<->, dashed] (O) -- node[left] {$OD$} (D);
			\draw[<->, dashed] (D) -- node[below right] {$CD$} (C);
		\end{tikzpicture}
		\caption{半角公式推导示意图}
		\label{fig:chord}
	\end{figure}
	
	考虑圆心角 $\alpha$，其弦为 $AB = \text{crd}(\alpha)$。设 $C$ 是弧 $AB$ 的中点，则 $OC$ 平分 $\angle AOB$ 且垂直平分弦 $AB$ 于 $D$。
	目标弦为 $AC = \text{crd}(\alpha/2)$。
	
	在直角三角形 $ADO$ 中：
	\begin{align*}
		AD &= \frac{1}{2} \text{crd}(\alpha) \\
		OA &= R \\
		OD &= \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{R^2 - \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2}
	\end{align*}
	
	线段 $CD$ 等于 $OC - OD = R - OD$。
	
	在直角三角形 $ADC$ 中，应用毕达哥拉斯定理：
	\begin{align*}
		[\text{crd}(\alpha/2)]^2 &= AC^2 = AD^2 + CD^2 \\
		&= \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2 + \left( R - \sqrt{R^2 - \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2} \right)^2
	\end{align*}
	
	展开并简化上述表达式，即可得到半角公式。托勒密在《天文学大成》中给出了一个等价且更简洁的形式：
	\begin{equation}
		[\text{crd}(\alpha/2)]^2 = R(2R - \text{crd}(180^\circ - \alpha))
	\end{equation}
	这个形式避免了复杂的平方计算，在当时的计算条件下更为实用。
	
	\section{弦表的构建步骤}
	基于上述公式，希帕霍斯构建弦表的步骤可以合理推测如下：
	
	\subsection{步骤一：确定基本框架与半径}
	选择圆的半径 $R$。历史证据表明，希帕霍斯很可能采用 $R = 60$ 单位，以便计算和避免分数（或至少减少分数）。
	
	\subsection{步骤二：计算起点值}
	从几何上已知的正多边形入手，计算几个特殊角的弦长：
	\begin{align*}
		\text{crd}(60^\circ) &= 60 \\
		\text{crd}(90^\circ) &= \sqrt{2} \times 60 \approx 84.8528 \\
		\text{crd}(120^\circ) &= \sqrt{3} \times 60 \approx 103.923 \\
		\text{crd}(180^\circ) &= 120
	\end{align*}
	利用补角公式，可由 $\text{crd}(60^\circ)$ 立即得到 $\text{crd}(120^\circ) = \sqrt{120^2 - 60^2} = \sqrt{10800} \approx 103.923$，验证了结果。
	
	\subsection{步骤三：从$120^\circ$到$30^\circ$}
	已知 $\text{crd}(120^\circ)$，应用半角公式求 $\text{crd}(60^\circ)$：
	\begin{align*}
		[\text{crd}(60^\circ)]^2 &= R(2R - \text{crd}(180^\circ - 120^\circ)) \\
		&= 60 \times (120 - \text{crd}(60^\circ)) \\
		\text{设 } x = \text{crd}(60^\circ), \quad &x^2 = 60(120 - x) \\
		&x^2 + 60x - 7200 = 0
	\end{align*}
	解这个二次方程，取正根，得到 $x=60$，与已知一致。此步骤用于验证公式。
	\\
	\\
	再已知 $\text{crd}(90^\circ)$，应用半角公式求 $\text{crd}(45^\circ)$：
	\begin{align*}
		[\text{crd}(45^\circ)]^2 &= R(2R - \text{crd}(180^\circ - 90^\circ)) \\
		&= 60 \times (120 - \text{crd}(90^\circ)) \\
		&= 60 \times (120 - 84.8528) \approx 60 \times 35.1472 \approx 2108.832
	\end{align*}
	因此 $\text{crd}(45^\circ) \approx \sqrt{2108.832} \approx 45.92$。
	
	\subsection{步骤四：迭代计算更小的角度}
	这是最核心的计算环节。希帕霍斯需要从已知的 $\text{crd}(180^\circ-θ)$ 通过半角公式不断求解 $\text{crd}((180^\circ-θ)/2)$。
	\\
	\\
	例如，从 $\text{crd}(180^\circ)$ 和 $\text{crd}(120^\circ)$ 出发：
	\begin{enumerate}
		\item 由 $\text{crd}(180^\circ)=120$，求 $\text{crd}(90^\circ)$（虽已知，用作验证）。
		\item 由 $\text{crd}(120^\circ) \approx 103.923$，求 $\text{crd}(60^\circ)=60$。
		\item 由 $\text{crd}(90^\circ) \approx 84.8528$，求 $\text{crd}(45^\circ) \approx 45.92$。
		\item 由 $\text{crd}(60^\circ)=60$，求 $\text{crd}(30^\circ)$：
		\begin{align*}
			[\text{crd}(30^\circ)]^2 &= 60 \times (120 - \text{crd}(180^\circ - 60^\circ)) \\
			&= 60 \times (120 - \text{crd}(120^\circ)) \\
			&= 60 \times (120 - 103.923) \approx 60 \times 16.077 \approx 964.62
		\end{align*}
		因此 $\text{crd}(30^\circ) \approx \sqrt{964.62} \approx 31.06$。
		\item 由 $\text{crd}(45^\circ) \approx 45.92$，求 $\text{crd}(22.5^\circ)$：
		\begin{align*}
			[\text{crd}(22.5^\circ)]^2 &= 60 \times (120 - \text{crd}(180^\circ - 45^\circ)) \\
			&= 60 \times (120 - \text{crd}(135^\circ))
		\end{align*}
		需先用补角公式求 $\text{crd}(135^\circ)$：
		\begin{align*}
			[\text{crd}(135^\circ)]^2 &= 120^2 - [\text{crd}(45^\circ)]^2 \\
			&\approx 14400 - (45.92)^2 \approx 14400 - 2108.6464 \approx 12291.3536 \\
			\text{crd}(135^\circ) &\approx \sqrt{12291.3536} \approx 110.87
		\end{align*}
		然后：
		\begin{align*}
			[\text{crd}(22.5^\circ)]^2 &\approx 60 \times (120 - 110.87) \approx 60 \times 9.13 \approx 547.8 \\
			\text{crd}(22.5^\circ) &\approx \sqrt{547.8} \approx 23.40
		\end{align*}
		\item 以此类推，可以逐步计算出 $\text{crd}(15^\circ)$, $\text{crd}(7.5^\circ)$ 等更小角度的值。
	\end{enumerate}
	
	\subsection{步骤五：插值}
	通过上述方法，可以得到一系列角度为 $n\times7.5^\circ$（或类似间隔）的弦长值。为了获得更密集的表，希帕霍斯可能使用了某种插值法，可能是简单的线性插值，或者是利用其他几何关系求得关键点的值。
	
	\section{结论与历史意义}
	希帕霍斯通过卓越的几何洞察力和迭代计算的耐心，成功地构建了历史上第一张弦表。他的方法体现了古希腊数学的两个显著特点：强大的几何证明能力和解决实际应用问题（尤其是天文学）的导向。虽然他的原始弦表未能幸存，但其思想和方法通过托勒密的著作得以流传，并成为此后数百年天文学计算的基石。弦表直接引导了印度数学家对正弦函数的研究，并最终演变为现代三角学。希帕霍斯的工作是数学史上理论与实践相结合的一个典范，标志着三角学作为一个独立数学分支的开端。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{toomer} Toomer, G. J. (1973). The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry. \textit{Centaurus}, 18(1), 6-28.
		\bibitem{ptolemy} Ptolemy, C. \textit{Almagest}. (多种译本和版本).
		\bibitem{van} Van Brummelen, G. (2009). \textit{The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry}. Princeton University Press.
		\bibitem{heath} Heath, T. L. (1921). \textit{A History of Greek Mathematics}. Oxford University Press.
	\end{thebibliography}
	